Зміст

• Кроки
• Поради

Складні дроби - це ті, в яких чисельник, знаменник або обидва містять дроби в собі. З цієї причини складні дроби іноді називають «складеними фракціями». Спрощення їх - це процес, який може варіюватися від легкого до складного, залежно від того, скільки термінів є в чисельнику та знаменнику, чи є будь-який із цих термінів змінним, і, якщо так, то складність цих термінів. Див. Крок 1, щоб розпочати!

Кроки

Метод 1 з 2: Спрощення складних дробів з оберненим множенням

1. 

   За потреби спростіть чисельник і знаменник простими дробами. Складні дроби не обов’язково важко вирішити. Насправді ті, в яких чисельник і знаменник містять простий дріб, як правило, досить легко вирішити. Таким чином, якщо чисельник або знаменник вашого складного дробу (або обох) містить кілька дробів або дробів із цілими числами, спростіть настільки, наскільки це необхідно, щоб отримати простий дріб в тому чи іншому. Для цього може знадобитися пошук найменшого спільного дільника (mDC) з двох або більше дробів.
   • Наприклад, скажімо, що ми хочемо спростити складний дріб (3/5 + 2/15) / (5/7 - 3/10). По-перше, ми спростимо чисельник і знаменник складних дробів до простих дробів.
     • Для спрощення чисельника ми будемо використовувати mDC 15, помноживши 3/5 на 3/3. Наш чисельник стане 9/15 + 2/15, в результаті 11/15.
     • Для спрощення знаменника ми будемо використовувати mDC 70, помноживши 5/7 на 10/10 і 3/10 на 7/7. Наш знаменник стане 50/70 - 21/70, в результаті 29/70.
     • Тому нова складна дріб буде (11/15) / (29/70).

2. 

   
   
   Поверніть знаменник, щоб знайти його обернену. За визначенням, поділитися одне число іншим еквівалентно помножте перше на обернене до другого. Тепер, коли ми маємо складний дріб з простими дробами в чисельнику та знаменнику, ми можемо використовувати цю властивість ділення, щоб спростити його! Спочатку знайдіть обернену донну частку складної частки. Зробіть це, «перевернувши» дріб - встановивши чисельник замість знаменника і навпаки.
   • У нашому прикладі частка в знаменнику складної частки (11/15) / (29/70) дорівнює 29/70. Щоб знайти його обернене, ми просто "обертаємо" його, щоб отримати 70/29.
     • Зверніть увагу: якщо ваш складний дріб має число у знаменнику, ви можете розглядати його як дріб і таким же чином знаходити його обернену. Наприклад, якщо наш складний дріб був (11/15) / (29), ми можемо визначити знаменник як 29/1, що призведе до зворотного 1/29.

3. 

   
   
   Помножте чисельник складного дробу на обернену до знаменника. Тепер, коли у вас є обернене до знаменника вашого складного дробу, помножте його на чисельник, щоб отримати простий дріб! Пам’ятайте, що для множення двох дробів ми просто множимо перехрещені доданки - чисельник нового дробу є добутком чисельника двох в оригіналі, і так само з знаменником.
   • У нашому прикладі ми помножимо 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 та 15 × 29 = 435. Нарешті, наш новий простий дріб є 770/435.

4. 

   
   
   Спростіть нову частку, знайшовши найбільший спільний фактор. Тепер у нас є простий дріб, тож нам залишилося вирішити його в найпростіших можливих умовах. Знайдіть найбільший спільний множник (РК) чисельника та знаменника, поділивши обидва на це число, щоб спростити його.
   • Загальним коефіцієнтом 770 і 435 є 5. Таким чином, якщо розділити чисельник і знаменник нашого дробу на 5, ми отримаємо 154/87. Числа 154 та 87 не мають спільних факторів, тому ми знайшли остаточну відповідь!

Метод 2 з 2: Спрощення складних дробів, що містять змінні терміни

1. 

   По можливості використовуйте метод зворотного множення, описаний вище. Очевидно, що практично будь-який складний дріб можна спростити, зменшивши його чисельник і знаменник до простих дробів і помноживши чисельник на обернену до знаменника. Складні дроби, що містять змінні, не є винятком, хоча чим складнішими є вирази змінних у складному дробі, тим складнішим і трудомісткішим буде використання зворотного множення. Для «легких» складних дробів, що містять змінні, зворотне множення є гарним вибором, але складні дроби з кількома змінними доданками в чисельнику та знаменнику можуть бути простішими для спрощення за допомогою альтернативного методу, описаного нижче.
   • Наприклад, (1 / x) / (x / 6) легко спростити за допомогою зворотного множення. 1 / x × 6 / x = 6 / х. Тут немає необхідності використовувати альтернативний метод.
   • Однак ((((1) / (x + 3) + x - 10) / (x + 4 + ((1) / (x - 5))) складніше спростити шляхом зворотного множення. Чисельник та знаменник цей складний дріб на прості дроби, множення перехресних доданків і зведення результату до найпростіших факторів, ймовірно, буде складним процесом, і в цьому випадку альтернативний метод, наведений нижче, може виявитися простішим.

2. 

   Якщо зворотне множення не є практичним, почніть з пошуку найменшого спільного знаменника доданків складного дробу. Першим кроком у цьому альтернативному методі спрощення є пошук mDC для всіх членів складної частки - як у його чисельнику, так і в знаменнику. Як правило, якщо один або кілька дробових доданків мають змінні у своїх знаменниках, ваш mDC буде добутком ваших знаменників.
   • Це виявляється легше зрозуміти на прикладі. Спробуємо спростити вищезазначений комплексний дріб: (((((1) / (x + 3) + x - 10) / (x + 4 + ((1) / (x - 5))). Терміни комплексу дроби - (1) / (x + 3) та (1) / (x - 5). Спільним знаменником цих двох дробів буде добуток їх знаменників: (x + 3) (x - 5).

3. 

   Помножте чисельник складного дробу на знайдений mDC. Далі потрібно буде помножити доданки в нашому складному дробі на mDC їх дробових доданків. Іншими словами, ми помножимо всю складну частку на (mDC) / (mDC), що можна зробити вільно, оскільки (mDC) / (mDC) дорівнює 1. Спочатку помножте чисельник.
   • У нашому прикладі ми помножимо наш складний дріб, (((((1) / (x + 3) + x - 10) / (x + 4 + ((1) / (x - 5))), на (( x + 3) (x - 5)) / ((x + 3) (x - 5)) Нам доведеться помножити чисельник і знаменник складного дробу, множачи кожен доданок на (x + 3) (x - 5 ).
     • Спочатку помножте чисельник: ((1) / (x + 3) + x - 10) × ((x + 3) (x - 5)).
       • = (((((x + 3) (x - 5) / (x + 3)) + x ((x + 3) (x - 5)) - 10 ((x + 3) (x - 5))
       • = (x - 5) + (x (x - 2x - 15)) - (10 (x - 2x - 15))
       • = (x - 5) + (x - 2x - 15x) - (10x - 20x - 150)
       • = (x - 5) + x - 12x + 5x + 150
       • = x - 12x + 6x + 145

4. 

   Помножте знаменник складної частки на mDC, як це зробили з чисельником. Продовжуйте множити складну частку на мДК, дотримуючись знаменника.
   • Знаменник нашого складного дробу, (((((1) / (x + 3) + x - 10) / (x + 4 + ((1) / (x - 5))), становить (x + 4 + ( (1) / (x - 5))). Помножимо його на знайдений mDC, (x + 3) (x - 5).
     • (x + 4 + ((1) / (x - 5))) × (x + 3) (x - 5)
     • = x ((x + 3) (x - 5) + 4 ((x + 3) (x - 5)) + (1 / (x - 5)) (x + 3) (x - 5)
     • = x (x - 2x - 15) + 4 (x - 2x - 15) + ((x + 3) (x - 5)) / (x - 5)
     • = x - 2x - 15x + 4x - 8x - 60 + (x + 3)
     • = x + 2x - 23x - 60 + (x + 3)
     • = x + 2x - 22x - 57

5. 

   Утворіть новий та спрощений дріб із знайденого чисельника та знаменника. Помноживши дріб на його вираз (mDC) / (mDC) та спростивши його поєднанням близьких термінів, у вас залишиться простий дріб без будь-яких дробових доданків. Як ви могли помітити, помноживши дробові доданки на mDC у вихідному складному дробі, знаменники цих дробів відміняють один одного, залишаючи змінні доданки та цілі числа в чисельнику та знаменнику вашої відповіді, але без дробів.
   • Використовуючи чисельник і знаменник, знайдені вище, ми можемо побудувати дріб, рівний початковому комплексу, але без дробових доданків. Отриманий чисельник був x - 12x + 6x + 145, а знаменник x + 2x - 22x - 57, так що нова дріб буде (x - 12x + 6x + 145) / (x + 2x - 22x - 57).

Поради

• Покажіть кожен крок своєї роботи. Фракції можуть легко заплутати, якщо ви намагаєтеся слідувати занадто швидко або намагаєтесь зробити це в думках.
• Знайдіть приклади складних дробів в Інтернеті або у своїх книгах. Виконуйте кожен крок, поки не звикнете робити їх комфортно.