Зміст

• Кроки
• Поради

Розв’язування системи рівнянь вимагає знаходження значення однієї або кількох змінних у більш ніж одному рівнянні. Ви можете розв’язати систему рівнянь шляхом додавання, віднімання, множення або підстановки. Якщо ви хочете знати, як вирішити систему рівнянь, виконайте такі дії.

Кроки

Метод 1 з 4: Розв’язати шляхом віднімання

1. 

   Напишіть одне рівняння поверх іншого. Вирішення системи рівнянь шляхом віднімання ідеально підходить, коли ви бачите, що обидва рахунки мають змінну з однаковим коефіцієнтом і однаковим знаком. Наприклад, якщо обидва рівняння мають додатну змінну 2x, ви можете використовувати метод віднімання, щоб знайти значення обох змінних.
   • Напишіть одне рівняння поверх іншого, вирівнявши змінні x і y та всі числа. Запишіть знак мінуса поза кількістю другої системи рівнянь.
   • Приклад: якщо у вас є два рівняння 2x + 4y = 8 і 2x + 2y = 2, то ви повинні написати перше рівняння над другим, зі знаком мінус поза другою величиною, показуючи, що ви віднімете кожен із доданків у рівняння.
     • 2x + 4y = 8.
     • - (2x + 2y = 2).

2. 

   
   
   Відніміть подібні терміни. Тепер, коли ви вирівняли два рівняння, все, що вам потрібно зробити, це відняти подібні доданки. Ви можете робити цей термін за терміном:
   • 2x - 2x = 0.
   • 4y - 2y = 2y.
   • 8 - 2 = 6.
     • 2x + 4y = 8 - (2x + 2y = 2) = 0 + 2y = 6.

3. 

   Вирішити інші умови. Як тільки ви вилучите одну зі змінних, отримавши доданок, рівний 0, коли віднімаєте змінні з однаковими коефіцієнтами, ви повинні вирішити для решти змінних регулярне рівняння. Ви можете видалити нуль з рівняння, оскільки це нічого не змінить у значенні.
   • 2y = 6.
   • Поділіть 2y та 6 на 2, щоб знайти y = 3.

4. 

   
   
   Підставте доданок назад в одне з рівнянь, щоб знайти значення першого доданка. Тепер, коли ви знаєте, що y = 3, ви повинні підставити назад в одне з вихідних рівнянь і вирішити для x. Не має значення, яку з них ви оберете, тому що відповідь буде однаковою. Якщо одне з рівнянь виглядає складнішим за інше, просто замініть його найпростішим.
   • Підставляємо y = 3 у рівняння 2x + 2y = 2 і розв'язуємо для x.
   • 2x + 2 (3) = 2.
   • 2x + 6 = 2.
   • 2x = -4.
   • x = - 2.
     • Ви вирішили систему рівнянь шляхом віднімання. (X, y) = (-2, 3)

5. 

   
   
   Перевірте свою відповідь. Щоб переконатися, що ви правильно розв’язали систему рівнянь, ви можете просто підставити дві відповіді в обох рівняннях, щоб переконатися, що вони працюють. Сюди:
   • Підставимо (-2, 3) замість (x, y) у рівняння 2x + 4y = 8.
     • 2(-2) + 4(3) = 8.
     • -4 + 12 = 8.
     • 8 = 8.
   • Підставимо (-2, 3) замість (x, y) у рівняння 2x + 2y = 2.
     • 2(-2) + 2(3) = 2.
     • -4 + 6 = 2.
     • 2 = 2.

Метод 2 з 4: Розв’яжіть додаванням

1. 

   Напишіть одне рівняння поверх іншого. Розв’язування системи рівнянь додаванням ідеально, коли ви бачите, що обидва рівняння мають змінну з однаковим коефіцієнтом, але з протилежними знаками. Наприклад, якщо одне рівняння має змінну 3x, а інше - -3x, тоді метод додавання є ідеальним.
   • Напишіть одне рівняння поверх іншого, вирівнявши змінні x і y та всі числа. Запишіть знак плюс поза величиною у другому рівнянні.
   • Приклад: якщо у вас є два рівняння 3x + 6y = 8 і ex - 6y = 4, тоді ви повинні написати перше рівняння поверх другого, зі знаком плюс поза кількістю другого рівняння, показуючи, що ви додасте кожне термінів рівняння.
     • 3x + 6y = 8.
     • + (x - 6y = 4).

2. 

   Додайте подібні терміни. Тепер, коли ви вирівняли два рівняння, все, що вам потрібно зробити, це скласти подібні доданки. Ви можете додати по одному:
   • 3x + x = 4x.
   • 6y + -6y = 0.
   • 8 + 4 = 12.
   • Об’єднавши всі умови, ви знайдете свій новий продукт:
     • 3x + 6y = 8.
     • + (x - 6y = 4).
     • = 4х + 0 = 12.

3. 

   Вирішити інші умови. Як тільки ви вилучите одну зі змінних, отримавши доданок, рівний 0, коли віднімаєте змінні з однаковими коефіцієнтами, ви повинні вирішити для решти змінних регулярне рівняння. Ви можете видалити нуль з рівняння, оскільки це нічого не змінить у значенні.
   • 4x + 0 = 12.
   • 4х = 12.
   • Поділіть 4x та 12 на 3, щоб знайти x = 3.

4. 

   Підставте доданок назад у рівняння, щоб знайти значення першого доданка. Тепер, коли ви знаєте, що x = 3, вам просто потрібно підставити це в одне з вихідних рівнянь, щоб вирішити для y. Не має значення, яку з них ви оберете, тому що відповідь буде однаковою. Якщо одне з рівнянь виглядає складнішим за інше, просто замініть його найпростішим.
   • Підставте x = 3 у рівняння x - 6y = 4, щоб вирішити для y.
   • 3 - 6y = 4.
   • -6y = 1.
   • Поділіть -6y та 1 на -6, щоб знайти y = -1/6.
     • Ви розв’язали систему рівнянь додаванням. (x, y) = (3, -1/6).

5. 

   Перевірте свою відповідь. Щоб переконатися, що ви правильно розв’язали систему рівнянь, ви можете просто підставити свої дві відповіді в обидва рівняння, щоб переконатися, що вони працюють. Отже:
   • Підставимо (3, -1/6) замість (x, y) у рівняння 3x + 6y = 8.
     • 3(3) + 6(-1/6) = 8.
     • 9 - 1 = 8.
     • 8 = 8.
   • Підставимо (3, -1/6) замість (x, y) у рівняння x - 6y = 4.
     • 3 - (6 * -1/6) =4.
     • 3 - - 1 = 4.
     • 3 + 1 = 4.
     • 4 = 4.

Метод 3 з 4: Розв’язати множенням

1. 

   Запишіть рівняння одне на одне. Напишіть одне рівняння поверх іншого, вирівнявши змінні x і y та всі числа. Коли ви використовуєте метод множення, жодна зі змінних поки що не матиме коефіцієнтів збігу.
   • 3x + 2y = 10.
   • 2x - y = 2.

2. 

   Помножте одне або обидва рівняння, поки одна зі змінних в обох доданках не матиме рівних коефіцієнтів. Тепер помножте одне або обидва рівняння на число, яке змушує одну зі змінних мати однаковий коефіцієнт. У цьому випадку ви можете помножити друге рівняння на 2 так, щоб змінна -y стала -2y і дорівнювала першому коефіцієнту y. Ось як це зробити:
   • 2 (2x - y = 2).
   • 4x - 2y = 4.

3. 

   Додайте або відніміть рівняння. Тепер просто використовуйте метод додавання або віднімання в обох рівняннях, виходячи з того, який метод усуне змінну з однаковим коефіцієнтом. Оскільки ви працюєте з 2y та -2y, ви повинні використовувати метод додавання, оскільки 2y + -2y дорівнює 0. Якби ви працювали з 2y та + 2y, тоді ви б використали метод віднімання. Ось як використовувати метод додавання для усунення однієї зі змінних:
   • 3x + 2y = 10.
   • + 4x - 2y = 4.
   • 7x + 0 = 14.
   • 7x = 14.

4. 

   Вирішити на термін, що залишився. Просто вирішіть знайти значення терміна, яке ви не видалили. Якщо 7x = 14, то x = 2.

5. 

   Підставте доданок назад у рівняння, щоб знайти значення першого доданка. Підставляємо назад в одне з вихідних рівнянь, щоб розв’язати для іншого терміна. Візьміть найпростіше рівняння, яке можна зробити швидше.
   • x = 2 -> 2x - y = 2.
   • 4 - у = 2.
   • -y = -2.
   • y = 2.
   • Ви розв’язали систему рівнянь множенням. (x, y) = (2, 2)

6. 

   Перевірте свою відповідь. Щоб перевірити свою відповідь, замініть два значення, які ви знайшли ще у вихідних рівняннях, і переконайтеся, що ви отримали правильні значення.
   • Підставимо (2, 2) замість (x, y) у рівняння 3x + 2y = 10.
   • 3(2) + 2(2) = 10.
   • 6 + 4 = 10.
   • 10 = 10.
   • Замінити (2, 2) замість (x, y) у рівнянні 2x - y = 2.
   • 2(2) - 2 = 2.
   • 4 - 2 = 2.
   • 2 = 2.

Метод 4 з 4: Вирішення шляхом заміни

1. 

   Виділіть змінну. Метод заміщення ідеальний, коли один із коефіцієнтів в одному з рівнянь дорівнює одиниці. Отже, все, що вам потрібно зробити, - це виділити просту змінну коефіцієнта з одного боку рівняння, щоб знайти його значення.
   • Якщо ви працюєте з рівняннями 2x + 3y = 9 та x + 4y = 2, ви можете виділити x у другому рівнянні.
   • x + 4y = 2.
   • x = 2 - 4y.

2. 

   Підставте значення змінної, яку ви виділили, назад в інше рівняння. Візьміть значення, знайдене при виділенні змінної, і замініть її замість змінної у рівнянні, яким ви не маніпулювали.Ви нічого не зможете вирішити, якщо підставити значення назад у рівняння, яким ви маніпулювали. Ось як це зробити:
   • x = 2 - 4y -> 2x + 3y = 9.
   • 2 (2 - 4y) + 3y = 9.
   • 4 - 8y + 3y = 9.
   • 4 - 5y = 9.
   • -5y = 9 - 4.
   • -5y = 5.
   • -y = 1.
   • y = - 1.

3. 

   Вирішити для інших змінних. Тепер, коли ви знаєте, що y = - 1, просто підставте це значення в найпростіше рівняння, щоб знайти значення x. Отже:
   • y = -1 -> x = 2 - 4y.
   • x = 2 - 4 (-1).
   • x = 2 - -4.
   • x = 2 + 4.
   • х = 6.
   • Ви вирішили систему рівнянь шляхом підстановки. (x, y) = (6, -1).

4. 

   Перевірте свою роботу. Щоб переконатися, що ви правильно вирішили систему рівнянь, ви можете просто підставити значення, знайдені в обох рівняннях, щоб перевірити, чи правильний результат:
   • Підставимо (6, -1) замість (x, y) у рівняння 2x + 3y = 9.
     • 2(6) + 3(-1) = 9.
     • 12 - 3 = 9.
     • 9 = 9.
   • Підставимо (6, -1) замість (x, y) у рівняння x + 4y = 2.
   • 6 + 4(-1) = 2.
   • 6 - 4 = 2.
   • 2 = 2.

Поради

• Ви повинні мати можливість вирішувати будь-які системи лінійних рівнянь, використовуючи методи додавання, віднімання, множення або заміщення, але один із методів, як правило, простіший залежно від рівнянь.