Зміст

• Кроки
• Поради

Математикам і графічним програмістам часто потрібно знайти кут між двома векторами. На щастя, формула, яка використовується для обчислення цього кута, вимагає не що інше, як простий скалярний добуток. Хоча міркування цієї формули легше зрозуміти при використанні двовимірних векторів, ми можемо легко адаптувати її до векторів з будь-якою кількістю компонентів.

Кроки

Частина 1 з 2: Обчисліть кут між двома векторами

1. 

   Визначте два вектори. Запишіть усю відому інформацію про два вектори. Для цілей цього підручника ми будемо вважати, що ви знаєте вектори лише з точки зору їх розмірних координат (також званих компоненти). Якщо ви вже знаєте модуль або стандартний з цих векторів (тобто їх довжини), ви можете пропустити деякі етапи нижче.
   • Приклад: ми розглянемо двовимірні вектори = (2,2) і = (0,3). Ці два вектори можна переписати як = 2i + 2j e = 0i + 3j = 3j.
   • Хоча наш приклад використовує два двовимірні вектори, ми можемо застосувати наступні вказівки до векторів з будь-якою кількістю компонентів.

2. 

   
   
   Напишіть формулу косинуса. Щоб знайти значення кута θ між будь-якими двома векторами, спочатку треба обчислити косинус цього кута. Ви можете шукати та дізнаватися формулу докладно або просто написати її так:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| являє собою модуль (або довжина) вектора ".
   • • представляє скалярний продукт (або внутрішній продукт) двох векторів.

3. 

   
   
   Обчисліть модуль кожного вектора. Уявіть правильний трикутник, утворений компонентом х вектора, його компонента у і сам вектор. У цьому трикутнику вектор грає роль гіпотенузи; тому, щоб знайти його довжину, ми застосуємо теорему Піфагора. Як результат, ця формула легко застосовна для векторів з будь-якою кількістю компонентів.
   • || u || = у₁ + у₂. Якщо вектор має більше двох компонентів, просто продовжуйте додавати + u₃ + у₄ +...
   • Тому для двовимірного вектора нам доведеться || u || = √ (u₁ + у₂).
   • У нашому прикладі |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Обчисліть скалярний добуток між двома векторами. Ви вже повинні знати метод множення векторів, який також називають скалярний продукт. Щоб обчислити скалярний добуток двох векторів за їх компонентами, ми множимо компоненти в одному напрямку один з одним, а потім додаємо результати цих продуктів.
   • Якщо ви працюєте з програмами комп’ютерної графіки, спочатку відвідайте розділ «Поради», перш ніж продовжувати.
   • Математично, • = u₁v₁ + у₂v₂, де u = (u₁, у₂). Якщо ваш вектор містить більше двох компонентів, просто продовжуйте додавати + u₃v₃ + у₄v₄...
   • У нашому прикладі • = u₁v₁ + у₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Це значення скалярного добутку між векторами та.

5. 

   Замініть ці результати формулою косинуса. Запам’ятайте, cosθ = (•) / (|||| || ||). Ми вже обчислили скалярний добуток і модуль двох векторів. Тепер замінимо ці значення у формулі та обчислимо косинус кута.
   • У нашому прикладі cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Знайдіть кут на основі косинусу.
   Використовуйте функцію дуги або cos для калькулятора, щоб визначити кут θ від значення косинуса. У деяких випадках ви можете знайти значення кута на основі одиничного кола.
   • У нашому прикладі cosθ = √2 / 2. Введіть "дуги (√2 / 2)" у свій калькулятор, щоб знайти кут. Інший варіант - шукати кут θ одиничного кола, де cosθ = √2 / 2: це справедливо для θ = /₄ або 45 °.
   • Збираючи всю інформацію разом, ми будемо мати остаточну формулу θ = arccosine ((•) / (|||| || ||))

Частина 2 з 2: Визначення формули для обчислення кута

1. 

   Зрозумійте мету формули. Формула, яку ми використовували для обчислення кута між двома векторами, не випливала з раніше існуючих правил; натомість він був створений як визначення скалярного добутку між двома векторами та кутом між ними. Однак це рішення не є довільним. При ближчому розгляді основної геометрії ми можемо побачити, чому ця формула призводить до таких корисних та інтуїтивних визначень.
   • Наступні приклади використовують двовимірні вектори, оскільки вони є найбільш інтуїтивним типом для роботи. Вектори трьох або більше розмірів мають свої властивості, визначені із загальної формули (також дуже подібним чином).

2. 

   Перегляньте закон косинусів. У будь-якому трикутнику розглянемо кут θ, утворений сторонами The і Б і збоку ç протилежний цьому куту. Відповідно до закону косинусів, c = a + b -2abпояс(θ). Демонстрацію цієї формули можна легко отримати з знань базової геометрії.

3. 

   З’єднайте два вектори, щоб утворився трикутник. Накресліть пару векторів, причому з кутом θ між ними. Потім намалюйте третій вектор між ними, щоб утворився трикутник. Іншими словами, намалюйте вектор таким, що + =, або просто = -.

4. 

   Застосуйте закон косинуса до цього трикутника. Замініть довжину боків наших векторний трикутник (тобто векторний модуль) у формулі закону косинусів:
   • || (a - b) || = || а || + || b || - 2 || а || || b ||пояс(θ)

5. 

   Перепишіть формулу, використовуючи скалярні продукти. Пам'ятайте, що крапковий добуток - це розширення одного вектора, що проектується на іншого. Скалярний добуток вектора сам по собі не потребує проекції, оскільки немає зміни напрямку. Це означає, що • = || a || Виходячи з цієї інформації, давайте перепишемо рівняння закону косинусів:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || а || || b ||пояс(θ)

6. 

   Спростіть формулу. Розкладіть добуток на лівій частині рівняння, а потім спростіть його, поки ви не знайдете формулу, яку ми знаємо для обчислення кутів.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || а || || b ||пояс(θ)
   • - • - • = -2 || а || || b ||пояс(θ)
   • -2 (•) = -2 || а || || b ||пояс(θ)
   • • = || а || || b ||пояс(θ)

Поради

• Для швидкого дозволу застосуйте таку формулу до будь-якої двовимірної векторної пари: cosθ = (u₁ • v₁ + у₂ • v₂) / (√ (u₁ • у₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Якщо ви працюєте з програмами комп’ютерної графіки, вам, швидше за все, потрібно буде знати лише напрямок векторів, а не їх довжину. Виконайте наведені нижче дії для спрощення рівнянь та прискорення програми:
  • Нормалізуйте кожен вектор, тобто знайдіть одиничний вектор, який має той же напрямок, що і вихідний вектор. Для цього розділіть кожен компонент вектора на векторний модуль.
  • Обчисліть скалярний добуток нормованих векторів, а не початкових векторів.
  • Оскільки модуль (тобто довжина) нормалізованих векторів є унітарним, ми можемо залишити їх поза формулою. Ваше остаточне рівняння для обчислення кутів буде дугами (•).
• Спираючись на формулу закону косинуса, ми можемо швидко з’ясувати, чи гострий кут гострий чи тупий. Почніть з cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Ліва і права сторони рівняння повинні мати однаковий знак (позитивний чи негативний).
  • Оскільки довжини завжди позитивні, cosθ завжди матиме такий самий знак, як і скалярний добуток.
  • Тому, якщо скалярний продукт позитивний, cosθ буде позитивним. Це означає, що кут знаходиться в першому квадранті одиничного кола, тобто θ <π / 2 або 90 °. Тому кут гострий.
  • Якщо скалярний добуток негативний, cosθ - негативний. Це означає, що кут знаходиться у другому квадранті одиничного кола, тобто π / 2 <θ ≤ π або 90 ° <θ ≤ 180 °. Тому кут тупий.