Зміст

• Кроки
• Поради

Система рівнянь - це сукупність двох або більше рівнянь, які поділяють набір невідомих і, отже, загальне рішення. Для лінійних рівнянь, представлених графічно лініями, системним рішенням є точка перетину прямих. Матриці можуть бути корисними для переписування та вирішення лінійних систем.

Кроки

Частина 1 з 2: Розуміння основ

1. 

   Зрозумійте термінологію. Лінійні рівняння мають різні компоненти. Змінна - це символ (зазвичай буква, як x або y) для числа, якого ви ще не знаєте. Константа - це число, яке не змінює свого значення. Коефіцієнт - це число, яке стоїть перед змінною, яка використовується для її множення.
   • Наприклад, у лінійному рівнянні 2x + 4y = 8, x і y є змінними. Постійна дорівнює 8. Числа 2 і 4 - це коефіцієнти.

2. 

   
   
   Розпізнати форму системи рівнянь. Систему рівнянь із двома змінними можна записати таким чином: ax + by = p, cx + dy = q Будь-яка з констант (p, q) може бути нульовою, за умови, що кожне рівняння повинно мати принаймні мінус одну змінну (х, у).

3. 

   Зрозуміти матрицю рівнянь. Коли у вас лінійна система, ви можете використовувати матрицю, щоб переписати її, а потім використовувати алгебраїчні властивості матриці для її розв’язання. Щоб переписати лінійну систему, використовуйте A для представлення матриці коефіцієнтів, C для представлення матриці констант та X матриці (або вектора) невідомих.
   • Наприклад, лінійну систему, наведену вище, можна переписати як матричне рівняння наступним чином: AX = C.

4. 

   
   
   Зрозумійте доповнені масиви. Розширена матриця - це матриця, отримана додаванням стовпців з двох матриць. Якщо у вас є дві матриці, A і C, ви можете створити збільшену матрицю, склавши їх разом. Розширена матриця буде виглядати так:
   • Наприклад, розглянемо таку лінійну систему:
     2x + 4y = 8
     x + y = 2
     Ваша збільшена матриця буде матрицею 2x3, яка виглядає так:

Частина 2 з 2: Перетворення доповненої матриці для розв’язання системи

1. 

   
   
   Розуміти елементарні операції. Ви можете виконувати певні операції над матрицею, щоб перетворити її, зберігаючи її еквівалентною вихідній матриці. Ці операції називаються елементарними операціями. Наприклад, для розв’язання матриці 2x3 можна використовувати елементарні лінійні операції для перетворення матриці у трикутну матрицю. До елементарних операцій належать:
   • поміняти місцями два рядки.
   • помножте рядок на число, відмінне від нуля.
   • помножте рядок, а потім додайте до іншого рядка.

2. 

   Помножте другий рядок на число, відмінне від нуля. Ідея полягає в тому, щоб на вашому другому рядку з’явився нуль, тож помножте його так, щоб це сталося.
   • Наприклад, припустимо, у вас є такий масив:
     
     
     Ви можете зберегти перший рядок і використовувати його, щоб створити нуль на другому рядку. Для цього спочатку помножте другий рядок на два наступним чином:

3. 

   Знову помножте. Щоб отримати нуль на другому рядку, можливо, вам доведеться ще раз помножити лінію, використовуючи той самий принцип.
   • У наведеному вище прикладі помножте другий рядок на -1 наступним чином:
     
     
     Коли ви закінчите множення, ваша нова матриця буде виглядати так:

4. 

   Додайте перший рядок до другого рядка. Потім додайте перший і другий рядки, щоб отримати нуль у першому стовпці другого рядка.
   • У наведеному вище прикладі додайте два рядки таким чином:

5. 

   Зверніть увагу на нову лінійну систему трикутної матриці. На даний момент у вас є трикутна матриця. Ви можете використовувати цю матрицю для отримання нової лінійної системи. Перший стовпець відповідає невідомому x, а другий стовпець - невідомому y. Третій стовпець відповідає константі в рівнянні.
   • Отже, для прикладу вище ваша нова система буде виглядати так:

6. 

   Вирішити для однієї зі змінних. Використовуючи вашу нову систему, визначте, яку змінну можна визначити найпростіше, та вирішіть для неї.
   • У наведеному вище прикладі переважно вирішити останнє рівняння, а потім повернутися до першого, щоб знайти невідоме значення. Друге рівняння забезпечує просте рішення для y; як тільки х буде видалено, ви зможете побачити, що y = 2.

7. 

   Підставляємо, щоб розв’язати другу змінну. Визначивши одну зі змінних, ви можете підставити її значення в інше рівняння, щоб вирішити іншу змінну.
   • У наведеному вище прикладі підставте y для першого рівняння значення 2, щоб знайти значення x наступним чином:

Поради

• Елементи, розташовані в матриці, зазвичай називаються скалярами.
• Пам’ятайте, що для розв’язання матриці 2х3 потрібно використовувати елементарні лінійні операції. Не можна використовувати елементарні операції зі стовпцями.