Зміст

• Кроки
• Поради

Для тих, хто має труднощі з математикою, бачення символу квадратного кореня може спричинити застуду. Однак проблеми, пов’язані з цим оператором, не такі складні, як вони з’являються. Іноді прості задачі з квадратним коренем можуть бути такими ж простими, як і просте множення чи ділення. З іншого боку, складнішими проблемами може бути більше роботи. Все-таки при правильному підході всі вони будуть виглядати легко. Почніть займатися проблемами з квадратними коренями вже зараз і вивчіть цю нову математичну майстерність радикальний!

Кроки

Частина 1 із 3: Розуміти поняття квадратних та квадратних коренів

1. 

   Перш ніж зрозуміти квадратні корені, спочатку зрозумійте, що таке квадрат числа. Це легко зрозуміти. Щоб скласти квадрат, просто помножте його на себе. Наприклад, 3 квадрата - це те саме, що 3 × 3 = 9, а 9 у квадраті - це те саме, що 9 × 9 = 81. Квадрати позначаються невеликим «2» у верхній правій частині числа, яке потрібно підняти, ось так: 3, 9, 100 тощо.
   • Щоб практикувати концепцію, спробуйте скласти ще кілька цифр. Пам'ятайте, що проводити квадратичне число - це просто множення його на себе. Це можна зробити навіть з негативними цифрами, але пам’ятайте, що в такому випадку відповідь завжди буде позитивною. Наприклад, -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   Щоб знайти квадратний корінь, знайдіть «зворотний» потенціал. Корінний символ (√, його також називають «радикальним») в основному означає «протилежність» символу. Коли ви бачите радикал, запитайте себе: "Яке число я можу помножити на себе, щоб результатом було число всередині радикала?" Наприклад, коли ви бачите √ (9), спробуйте знайти число, яке, у квадрат, дорівнює 9. У цьому випадку відповідь буде тритому що 3 = 9.
   • Інший приклад: знайдемо квадратний корінь 25 (√ (25)). Це означає, що нам потрібно знайти число, яке в квадраті дорівнює 25. Оскільки 5 = 5 × 5 = 25, можна сказати, що √ (25) = 5.
   • Ви також можете розглянути цю операцію як спосіб "скасувати" квадратну висоту. Наприклад, якщо нам потрібно знайти √ (64), квадратний корінь з 64, нам слід вважати 64 як 8. Оскільки квадратний корінь в основному "скасовує" висоту в квадраті, можна сказати, що √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   Зрозумійте різницю між ідеальними квадратними числами та недосконалими квадратними числами. Поки що відповіді на наші проблеми з квадратним коренем були цілими числами. Це не завжди буде. Насправді результат радіаційної операції іноді може призвести до довгих складних децималей. Якщо корінь числа є цілим числом, тобто якщо воно не є дробом або десятковим, воно буде називатися ідеальний квадрат. Усі приклади, показані вище (9, 25 і 64), є ідеальними квадратами, оскільки їх корені є цілими числами (3, 5 і 8 відповідно).
   • З іншого боку, називаються числа, коріння яких не цілі недосконалі квадрати. Підраховуючи корінь одного з цих чисел, ми отримаємо результат, який зазвичай буде дробом або десятковою. Іноді дециплі, що задіяні, можуть бути досить складними, як у прикладі: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   Запам’ятайте принаймні перші 12 ідеальних квадратів. Як ми показали, обчислити квадратний корінь числа може бути дуже просто! Тому важливо витратити час на запам'ятовування квадратних коренів першого десятка досконалих квадратів. Вони, як правило, з’являються дуже багато на тестах, тому запам'ятовування їх може заощадити вам багато часу. Перші 12 ідеальних квадратів:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   По можливості спростіть коріння, видаливши ідеальні квадрати. Знайти квадратний корінь недосконалих квадратів може бути досить складно, особливо якщо немає доступного калькулятора (у розділах нижче ви дізнаєтесь хитрощі для спрощення процесу). Однак іноді можливо спростити числа всередині кореня, щоб спростити обчислення. Просто розділіть число всередині кореня на коефіцієнти, потім обчисліть корінь факторів, які є ідеальними квадратами, і запишіть відповідь поза радикалом. Це простіше, ніж виглядає. Дивіться нижче, щоб краще зрозуміти!
   • Скажімо, вам потрібно знайти корінь 900. Спочатку це здається досить важким завданням! Все набагато простіше, якщо розділити 900 на фактори. Коефіцієнти числа "х" - це набір чисел, які, якщо їх помножити, призводять до "х". Наприклад, ми можемо отримати 6 шляхом множення 1 × 6 і 2 × 3, тому коефіцієнти 6 дорівнюють 1, 2, 3 і 6.
   • Замість того, щоб працювати з 900, що може бути трохи дивно, давайте замість цього запишемо як 9 × 100. Тепер, як 9, що є ідеальним квадратом, відокремлено від 100, ми можемо обчислити його квадратний корінь. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Тобто √ (900) = 3√(100).
   • Ще можна спростити ще два рази, розділивши 100 на коефіцієнти 25 і 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Отже, можна сказати, що √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   Використовуйте уявні числа для обчислення кореня від’ємних чисел. Запитайте себе: яке число, помножене на себе, призводить до -16? Це не 4 або -4, тому що площа цих двох чисел дорівнює 16. Чи слід відмовлятися? Насправді, немає можливості записати квадратний корінь -16 або будь-яке інше від’ємне число, використовуючи лише дійсні числа. У таких випадках ми повинні використовувати уявні числа (як правило, у формі літер або символів) для заміни квадратного кореня від’ємного числа. Змінна "i", наприклад, використовується для позначення квадратного кореня -1. Як правило, корінь від'ємного числа завжди буде (або принаймні включає) уявне число.
   • Пам'ятайте, що хоча уявні числа не можуть бути представлені реальними числами, вони все одно можуть бути розцінені як такі. Наприклад, корінь від'ємного числа "-x", якщо він має квадрат, також призводить до "-x", як і будь-який інший корінь. Тобто i = -1

Частина 2 з 3: Використання методів, подібних до довгого поділу

1. 

   Ставтесь до проблеми з квадратним коренем так, ніби це довгий поділ. Незважаючи на трохи трудомісткість, ви можете знайти квадратний корінь складних недосконалих квадратних чисел, не використовуючи калькулятор. Метод (або алгоритм) схожий (але не той самий), як у довгого поділу. Довгий поділ полягає в тому, що традиційний метод використовується для обчислення поділів вручну.
   • Почніть з початкового позиціонування проблеми, яке буде подібне до довгого поділу. Наприклад, скажімо, що вам потрібно знайти корінь 6,45, що, безумовно, не є ідеальним квадратом. Спочатку пишемо квадратний корінний символ (√), а потім ставимо всередину його число. Тоді ми мусимо зробити рядок із символу √, поки він не охопить ціле число, залишивши його всередині поля, подібного до того, де знаходиться роздільник довгих поділок. Різниця полягає в тому, що тут відповідь буде вище цього поля, а не нижче, як у традиційному поділі. Коли ми закінчимо, у нас з’явиться витягнутий знак «√», який охоплює всю кількість 6,45.
   • Запишемо цифри на цьому полі, тому залишайте пробіл.

2. 

   Згрупуйте цифри в пари. Для початку розв’язування задачі згрупуйте цифри числа всередині стебла по парах, починаючи з десяткової крапки. Можна зробити невеликі розмітки (наприклад, періоди, бруски, коми тощо) між парами, щоб розділити їх.
   • У нашому прикладі ми повинні розділити 6,45 на три пари, як це: 6-,45-00. Дивіться, що на лівій стороні є одна менша цифра, з цим проблем немає.

3. 

   Знайдіть найбільшу кількість, площа якої менша або дорівнює значенню першої «групи». Почніть з першої пари цифр з лівого боку. Виберіть найбільшу кількість, площа якої менша або дорівнює «групі». Наприклад, якщо групи було 37, виберіть 6, тому що 6 = 36 <37, але 7 = 49> 37. Запишіть це число вище першої групи. Це перша цифра відповіді.
   • У нашому прикладі перша група в 6- 45-00 дорівнює 6. Перше найбільше число, квадрат якого менше або дорівнює 6, 2, тому що 2 = 4. Напишіть "2" над 6, що знаходиться всередині радикала.

4. 

   Подивіться на першу цифру відповіді (число, яке ми тільки що знайшли) і помножте її на дві. Тепер запишіть результат нижче першої групи та виконайте віднімання, щоб знайти різницю. Потім прокрутіть вниз наступну пару чисел, додавши їх до різниці, яку ми щойно знайшли. Нарешті, напишіть останню цифру вдвічі першу цифру відповіді з лівого боку та залиште пробіл біля неї.
   • У нашому прикладі першим кроком було б знайти подвійне число 2, що є першою цифрою відповіді. 2 × 2 = 4. Потім ми повинні відняти 4 з 6 (наша перша «група»), отримавши 2 як відповідь. Тепер нам потрібно спуститися до наступної групи (45), щоб отримати 245. Нарешті, ми знову пишемо 4 ліворуч, залишаючи невеликий порожній пробіл з правого боку, як це: 4_.

5. 

   Заповніть форму. Тепер нам потрібно поставити цифру замість порожнього пробілу поруч із цифрою, яку ми пишемо зліва. Виберіть цифру, яка при множенні на число зліва на порожній простір замінена на себе, має максимальне значення, але менше числа з правого боку. Це може здатися трохи складним, тому давайте подивимось кілька прикладів для розуміння. Якщо число, яке знизилося, тобто те, що праворуч, дорівнює 1700, а число праворуч - 40_, ми заповнимо бляху цифрою 4, тому що 404 × 4 = 1616 <1700 і 405 × 5 = 2025 Число, знайдене на цьому кроці, буде другою цифрою відповіді, тому ви можете додати його над символом стовбура.
   • У нашому прикладі нам потрібно знайти число, яке слід заповнити порожнім пробілом у 4_ × _, що робить відповідь якомога більшим, але меншим або рівним 245. У нашому випадку відповідь: 5тому що 45 × 5 = 225 і 46 × 6 = 276.

6. 

   Продовжуйте використовувати цифри, які заповнюють пробіли, щоб скласти відповідь. Продовжуйте цей модифікований метод довгого поділу, поки ви не почнете отримувати нулі, віднімаючи число, яке опускається від радикала, або поки не досягнете бажаного рівня точності. Після закінчення цифри, які використовуються для заповнення пробілів на кожному кроці (і, звичайно, перше число, яке ми використовуємо) становлять цифри відповідей.
   • Продовжуючи наш приклад, ми віднімемо 225 від 245, щоб отримати 20. Тоді ми би знизили пару цифр 00, щоб отримати 2000. Підводячи числа над радикалом, ми отримаємо 25 × 2 = 50. Встановивши число пробілу на 50_ × _ = / <2000, ми отримуємо 3. На даний момент у нас є "253" про радикал. Повторивши процес ще раз, ми отримаємо 9 як наступну цифру.

7. 

   Поставте косу у правильному положенні у відповіді. Щоб закінчити відповідь, нам ще потрібно поставити десяткову точку в потрібне місце. Ця частина проста: просто поставте косу у відповідь у тому ж положенні, що і кома в номері всередині радикала. Наприклад, якщо число всередині радикала становить 49,8, просто поставте косу у відповідь на місце, відповідне тому, що знаходиться нижче, тобто між двома числами вище 9 і 8.
   • У нашому прикладі число всередині радикала становить 6,45. Щоб отримати відповідь, просто розмістіть кому між числами, що перевищують 6 та 4, що у цьому випадку відповідно 2 та 5, щоб отримати відповідь: 2,539.

Частина 3 з 3: Швидке оцінювання недосконалих квадратів

1. 

   Знайдіть відповідь через оцінку. Коли ви дізнаєтесь корінь деяких ідеальних квадратів, знайти корінь недосконалих квадратів буде набагато простіше. На попередньому кроці ми рекомендуємо запам'ятати принаймні перші дванадцять ідеальних квадратів та їх коренів. Хороша новина полягає в тому, що ми можемо використовувати оцінку для наближення кореня недосконалого квадрата, який знаходиться між двома ідеальними квадратами, про які ми знаємо. Для цього нам потрібно знайти перший досконалий квадрат, більший за потрібне число, і останній менший, щоб число, про яке йдеться, було між двома. Тоді нам потрібно спробувати з’ясувати, до якого з цих двох досконалих квадратів наближається корінь потрібного числа.
   • Наприклад, припустимо, що ми повинні знайти квадратний корінь 40. Оскільки ми запам'ятовуємо свої ідеальні квадрати, ми можемо сказати, що 40 - між 6 і 7, тобто між 36 і 49. Оскільки 40 більший за 6, його квадратний корінь буде більший за 6. Так само, оскільки він менше 7, його корінь буде менше 7. 40 трохи ближче до 36, ніж 49, тому наша відповідь, ймовірно, буде ближче до 6. У наступних кроках , ми збільшимо точність нашої оцінки.

2. 

   Збільшити точність до одного знаку після коми. Після того, як ви знайшли два послідовні ідеальні квадрати, які утворюють діапазон, який містить ваше число, просто спробуйте збільшити точність оцінки до точки, яку ви вважаєте задовільною. Чим більше спроб поліпшити оцінку, тим більша точність. Для початку оцініть значення першого знаку після коми. Ця оцінка не повинна бути правильною, але використання логіки для вибору значення, яке, ймовірно, буде найближчим до відповіді, полегшить процес.
   • У нашому прикладі прийнятною оцінкою для квадратного кореня 40 може бути 6,4, тому що ми вже знаємо, що відповідь, ймовірно, трохи ближче до 6, ніж 7.

3. 

   Помножте оцінку на себе. Якщо вам не пощастить, результат не буде стартовим числом (40, у нашому прикладі). Вам потрібно буде скоригувати оцінку, щоб наблизитися до правильної відповіді.Якщо результат вище стартового числа (тобто вище 40), спробуйте нижчу оцінку. Так само, якщо результат нижче бажаного числа, збільште оцінку.
   • Помножте 6,4 на себе, щоб отримати 6,4 × 6,4 = 40,96, що трохи вище нашого початкового числа.
   • Тепер, як наша оцінка була трохи вище правильної величини, то давайте зменшимо її на одну десяту, щоб отримати 6,3 × 6,3 = 39,69. Тепер результат був трохи менший, ніж наш вихідний номер. Це означає, що корінь 40 - це деяке число між 6,3 та 6,4. Крім того, оскільки 39,69 ближче до 40, ніж 40,96, ми знаємо, що корінь буде ближче до 6,3, а не 6,4.

4. 

   Продовжуйте вдосконалювати оцінку, якщо це необхідно. У цей момент, якщо ви задоволені відповіддю, використовуйте одне з перших наближень як оцінку. Однак якщо вам потрібна більш точна відповідь, просто спробуйте оцінити її друге десяткове місце, вибираючи значення між двома попередніми (тобто між 6,3 і 6,4). За допомогою цього методу ми можемо оцінити три десяткових знаки, чотири, п’ять тощо, залежно лише від точності, необхідної для відповіді.
   • У нашому прикладі ми можемо вибрати 6,33, щоб зробити нашу оцінку до двох знаків після коми. Помножте 6,33 на себе, щоб отримати 6,33 × 6,33 = 40,0689. Оскільки цей результат був трохи вище нашого початкового числа, ми можемо вибрати трохи нижче значення, наприклад 6,32. У цьому випадку 6,32 × 6,32 = 39,9424, результат трохи нижче стартового числа. Тому можна зробити висновок, що точний корінь - 40 між 6,32 та 6,33. При необхідності ми могли б продовжувати цей метод для отримання дедалі точніших наближень до кореня потрібного числа.

Поради

• Якщо вам потрібно швидко виправити, використовуйте калькулятор. Більшість сучасних калькуляторів можуть обчислити квадратні корені миттєво. Взагалі просто введіть будь-яке число та натисніть кнопку із символом квадратного кореня. Наприклад, щоб знайти корінь 841, просто натисніть 8, 4, 1, а потім (√), щоб отримати відповідь: 39.