Зміст

• Кроки
• Поради
• Попередження

До того, як прийшов калькулятор, і студентам, і вчителям доводилося обчислювати квадратні корені вручну. Для кращого вирішення цього лякаючого процесу розвинулося кілька методів, деякі з яких наближують, а інші - більш точне значення. Щоб дізнатися, як обчислити квадратний корінь вручну за допомогою простих операцій, прочитайте Крок 1 починати.

Кроки

Метод 1 з 2: Використання простих факторизацій

1. 

   Поділіть число на ідеальні квадратні множники. Цей метод використовує коефіцієнти числа для обчислення квадратного кореня (залежно від значення, це може бути точна або передбачувана відповідь). ви фактори числа є будь-яким набором інших, які множаться для його досягнення. Можна сказати, наприклад, які фактори і чому. Ідеальні квадрати, навпаки, це цілі числа, отримані в результаті множення між іншими цілими числами. Значення і, наприклад, є ідеальними квадратами, оскільки вони можуть бути представлені, і, відповідно. Ідеальні квадратні коефіцієнти, як ви можете собі уявити, - це також ідеальні квадрати. Щоб почати знаходити квадратний корінь за допомогою простих множників, зменшіть значення до ваших ідеальних квадратних коефіцієнтів.
   • В одному з прикладів вам доведеться обчислити квадратний корінь руки. Для початку просто розділіть значення на ваші ідеальні квадратні коефіцієнти. Оскільки вона кратна, все ще відомо, що вона ділиться на - ідеальний квадрат. Швидкий розумовий розподіл змусить вас побачити, що він відповідає числу разів, що, за збігом обставин, також є ідеальним квадратом. Тому ідеальними квадратними коефіцієнтами будуть і чому.
   • Перший етап вправи буде записаний так:

2. 

   
   
   Обчисліть квадратні корені ідеальних квадратних множників. Властивість квадратного кореневого добутку стверджує, що для будь-яких значень та даних. Через це тепер можна отримати квадратні корені множників і помножити їх, щоб отримати відповідь.
   • У розглянутому прикладі квадратні корені та буде витягнуто таким чином:

3. 

   
   
   Зменшіть отримане значення до найпростіших умов, якщо немає можливості врахувати його ідеально. На практиці цифри навряд чи будуть ідеальними та точними з факторами, які також є ідеальними квадратами (наприклад). У таких випадках може бути неможливо придумати точну цілу відповідь. Натомість, визначивши фактори, які можуть бути ідеальними квадратами, ви можете розрахувати відповідь на основі меншого, простішого та легшого в роботі квадратного кореня. Просто зменшіть число до поєднання факторів, які є ідеальними квадратами, з іншими, які не є. Потім спростіть результат.
   • Припустимо, як приклад використовується квадратний корінь з. Це число не є добутком двох ідеальних квадратів, тому неможливо отримати ціле значення, як у попередньому випадку. Однак це добуток між ідеальним квадратом та іншим числом - e. Ці дані будуть використані для просування пошуку відповіді найпростішими словами, наступним чином:

4. 

   
   
   Якщо потрібно, зробіть кошторис. З найпростішими виразами квадратного кореня простіше оцінити числову відповідь, визначивши значення решти квадратних коренів та помноживши відповідні значення. Один із способів провести ці оцінки - знайти ідеальні квадрати поруч із числом у квадратному корені. Ви будете знати, що десяткові коми цього числа будуть між цими двома значеннями, і, отже, буде простіше визначити, що існує між ними.
   • Повертаючись до прикладу і будучи e, ви бачите, що воно знаходиться між e - і, можливо, ближче до більшого числа. При оцінці ви знайдете це. Просто перевірте роботу за допомогою калькулятора, і ви помітите, що ви наблизились до справжньої відповіді ().
     • Це також працює у більшій кількості. Можна, наприклад, підрахувати, що воно знаходиться між і (можливо, ближче до більшої кількості). Якщо e і знаходиться між обома значеннями, ймовірно, що його квадратний корінь також знаходиться між і. Беручи до уваги, що це невеликий крок, ви можете впевнено заявити, що ваш квадратний корінь є найближчим часом нижче значення. Виконуючи обчислення на калькуляторі, ви отримуєте результат - припущення було правильним.

5. 

   Спочатку зменште число до свого загальні кратні мінімуми. Необов’язково знаходити множники, які є ідеальними квадратами, якщо ви можете визначити прості множники числа (тобто це також прості числа). Запишіть значення, що описується, на основі загальних мінімальних кратних. Далі шукайте пари простих чисел, які відповідають одне одному. Коли ви знайдете два варіанти, які відповідають цим вимогам, вийміть їх із квадратного кореня та розмістіть a з них зовні.
   • Як приклад спробуйте знайти за допомогою цього методу квадратний корінь з. Відомо, що і те. Через це можна записати квадратний корінь з точки зору його факторів :. Просто візьміть двох присутніх всередині кореня і помістіть один із них зовні, щоб дійти до найпростіших умов :. Звідси це легко оцінити.
   • В якості останнього прикладу спробуйте обчислити квадратний корінь з:
     • 
       Тут є кілька значень всередині квадратного кореня - оскільки це просте число, просто візьміть одну з пар і розмістіть одну з одиниць зовні.
     • Як результат, квадратним коренем у найпростіших умовах буде або. Звідси ви можете оцінити значення і, якщо хочете.

Метод 2 з 2: Розрахунок квадратних коренів вручну

1. 

   Спочатку відокремте пробіли від числа попарно. Цей метод використовує процес, подібний до довгого поділу, для обчислення квадратного кореня точний, по одному будинку за раз. Хоча це не має вирішального значення, ви можете виявити, що процес простіший, якщо його організувати візуально і число розділено на частини. Перше, що потрібно зробити, це намалювати вертикальну лінію, що розділяє робочу зону на дві області, а потім зробити меншу горизонтальну лінію вгорі праворуч, щоб у верхній частині був невеликий переріз, а внизу - великий. Тепер відокремте пробіли від числа парами, починаючи з коми: наступне правило, наприклад, стає. Запишіть значення у верхній частині лівого пробілу.
   • В одному прикладі спробуйте обчислити квадратний корінь з. Зробіть два рядки, щоб поділити робочу область, як у попередньому випадку, і напишіть у верхній частині лівого простору, і не хвилюйтеся, якщо зліва замість пари є лише одне число. Ви повинні написати відповідь () у верхній правій області.

2. 

   З’ясуйте, яке найбільше ціле число, квадрат якого менший чи дорівнює числу (або парі чисел) ліворуч. Почніть з крайньої лівої частини вашого номера, будь то пара або ізольоване значення. Визначте, який найбільший досконалий квадрат менше або дорівнює цьому числу, і візьміть його квадратний корінь: це значення представлено. Запишіть це у верхньому правому пробілі, а ваш квадрат у правому нижньому квадранті.
   • У прикладі крайня ліва частина - це число. Як відомо, це можна стверджувати, оскільки це найбільше ціле значення, квадрат якого менше або дорівнює. Запишіть у верхній квадрант - це буде перший квадрат результату. Потім запишіть (квадрат) у правому нижньому квадранті - це значення буде важливим для наступного кроку.

3. 

   Віднімаємо нове розраховане число пари зліва. Як і при довгому поділі, наступним кроком є ​​віднімання знайденого квадрата з щойно вивченої частини. Запишіть це значення під першою порцією та виконайте відповідне віднімання, написавши відповідь нижче.
   • У цьому прикладі один буде розміщений нижче, щоб виконати віднімання. Відповідь тут буде дорівнює.

4. 

   Спустіться до наступної пари. Перемістіть наступну частину номера дослідження вниз і поруч із щойно віднайденим значенням. Потім помножте значення у верхньому правому куті і запишіть відповідь у правому нижньому квадранті. Тепер просто виділіть простір для задачі множення на наступному кроці :.
   • У цьому прикладі доступна наступна пара. просто подивіться на нього біля лівого нижнього квадранта. Потім помножте значення на і отримайте його, так що. Впишіть у нижній правий кут, після чого.

5. 

   Заповніть пропуски у правому квадранті. Тепер у кожного з них буде одне і те ж ціле число. Він повинен бути найбільшим, що дозволяє результат множення праворуч бути меншим або рівним числу, який зараз присутній ліворуч.
   • У прикладі заповнення пропусків з результатом :. Це значення більше ніж. Таким чином, він занадто великий, але, мабуть, буде. Запишіть у порожні місця і продовжуйте :. Підтверджується, що воно відповідає потребі, оскільки тоді запишіть число у верхньому правому квадранті. Це другий квадрат у квадратному корені з.

6. 

   Відніміть розраховане значення від числа, яке зараз знаходиться ліворуч. Продовжуйте віднімання в тому ж стилі, що і довгий поділ. Візьміть результат задачі на множення у правому квадранті і відніміть його від значення, яке зараз знаходиться зліва, розмістивши свою відповідь трохи нижче.
   • У прикладі це буде віднято з, в результаті чого.

7. 

   Повторіть крок 4. Прокрутіть вниз до наступної частини числа, квадратний корінь якої обчислюється. Коли дійдете до коми, у відповіді у правому верхньому квадранті напишіть десятковий знак. Потім помножте значення вгорі праворуч на і напишіть операцію білим (), як і раніше.
   • У прикладі, оскільки зараз досягається кома, пишіть її відразу після поточної відповіді вгорі праворуч. Потім перейдіть до наступної пари () у лівому квадранті. Помноживши на значення вгорі праворуч (), ви отримаєте - напишіть у правому нижньому квадранті.

8. 

   Повторіть кроки 5 і 6. Знайдіть найбільше десяткове значення, здатне заповнити порожні місця праворуч, що дають результат, менший або дорівнює числу в даний час ліворуч. Тоді просто переходьте до проблеми.
   • У прикладі ,, що менше або дорівнює числу ліворуч (). Спостерігаючи те, що занадто високо, ви приходите до висновку, що це відповідь, яку ви шукаєте. Запишіть його як наступний десятковий знак у верхньому правому квадранті і відніміть результат множення числа зліва :.

9. 

   Продовжуйте обчислювати десяткові коми. Опустіть пару нулів ліворуч і повторіть Крок 4, 5 і 6. Для ще більшої точності продовжуйте повторювати процес, поки у своїй відповіді не знайдете сотих, тисячних і так далі. Просто продовжуйте цей цикл, поки не досягнете результату з потрібним знаком після коми.

Розуміння процесу

1. 

   Визначте число, квадратний корінь якого буде обчислюватися як площа квадрата. Оскільки ця область має формулу, де вона представляє довжину однієї зі своїх сторін, при спробі знайти квадратний корінь її значення ви намагаєтесь обчислити довжину відповідного квадрата.

2. 

   Вкажіть змінні для кожного десяткового знаку у вашій відповіді. Встановіть змінну першим знаком після коми (обчислюється квадратний корінь), другим, третім тощо.

3. 

   Присвоюйте алфавітні змінні кожній частині стартового числа. Пов’яжіть змінну з першою парою десяткових знаків у (початкове значення), другою парою десяткових знаків тощо.

4. 

   Зрозумійте зв’язок цього методу з довгим поділом. Цей спосіб обчислення квадратного кореня в основному є проблемою довгого ділення, яка ділить початкове число на його квадратний корінь, даючи його квадратний корінь у відповідь. Як і у випадку проблем із довгим діленням, у яких відсотки спрямовуються на один десятковий знак за раз, тут вам слід зосередитися на двох одночасно (що відповідає наступному десятковому коду з квадратним корінцем).

5. 

   Знайдіть найбільше число, квадрат якого менше або дорівнює. Перший десятковий знак у відповіді представляє найбільше ціле число, квадрат якого не перевищує (так). У прикладі, і, так що.
   • В одному прикладі, якщо ви хочете ділити за допомогою методу довгого ділення, перший крок був би подібним: вам слід шукати першу цифру () і знайти найбільше ціле число, яке, помножене на, призведе до чогось менше, ніж дорівнює. В основному, мова йде про пошук такого шляху. У цьому випадку це було б рівно.

6. 

   Візуалізуйте квадрат, площу якого потрібно обчислити. Відповідь, яка є квадратним коренем стартового числа, буде представлена, що описує довжину площі площі (стартове число). Значення і представляють десяткові знаки, наявні в. Інший спосіб викласти це визначення - стверджувати, що у випадку відповіді з двома знаками після коми, у разі відповіді з трьома знаками після коми тощо.
   • У цьому прикладі. Пам’ятайте, що це відповідь у одиницях і в десятках. Взявши і як приклад, це призведе до числа. Якщо він представляє площу квадрата, він представляє площу найбільшого внутрішнього квадрата, представляє площу найменшого внутрішнього квадрата і представляє площу кожного з решти прямокутників. Виконуючи цей довгий і складний процес, у вас буде під рукою вся квадратна площа, просто додавши площі, обчислені з квадратів та прямокутників всередині.

7. 

   Відняти від. Відкиньте пару () знаків після коми. Вираз представляє майже всю площу квадрата, з якого відняли найбільший внутрішній квадрат. Решту, у свою чергу, можна представити отриманою в Крок 4 (у прикладі вище). Тут, (площа обох прямокутників плюс площа найменшого квадрата).

8. 

   Шукайте, також пишеться як. У цьому прикладі ви вже знаєте () та (), і тепер потрібно обчислити значення. Це, мабуть, не буде цілим числом, тому вам потрібно справді обчислити найбільшу цілу можливість, яка задовольняє умові. Нарешті, у вас залишиться.

9. 

   Розв’яжіть операцію. Щоб продовжити, помножте на, змініть положення десятків (еквівалент множення значення на), поставте його в положення одиниць і помножте результат на. Іншими словами, просто виконайте операцію. Це те саме, що і при записі (перебуванні) у правому нижньому квадранті, присутньому в Крок 4. Вже в Крок 5, у свою чергу, ви знайдете найбільше ціле значення, яке вміститься в порожньому просторі, що задовольняє умові.

10. 

    Відніміть площу від загальної площі. Це призводить до того, що площа, яку досі не враховували (і яка буде використана для обчислення наступних квадратів подібним чином).

11. 

    Щоб розрахувати наступний десятковий знак, просто повторіть процес. Прокрутіть вниз до наступної пари (), щоб перейти ліворуч і шукати найвище значення, яке задовольняє умові (еквівалентно написанню подвійного значення з двома знаками після коми. Шукайте у порожніх місцях максимально можливе десяткове значення що приносить результат менше або дорівнює, як і раніше.

Поради

• Цей метод працює з будь-якою базою, а не лише з (десятковою) базою.
• У прикладі "відпочинок" можна розглянути:
  
• Альтернативний метод, який використовує безперервні дроби, дотримується цієї формули:
  
  В одному прикладі, для обчислення квадратного кореня з, ціле число, квадрат якого найбільше відповідає вихідному числу, є, таким чином, e. При введенні значень у формулу та округленні оцінки це вже приносить результат (мінімальні значення) або приблизно (). Наступним терміном буде, або приблизно (). Кожен додатковий доданок додає майже три знаки після коми з точністю відносно попередньої спроби.

Попередження

• Не забудьте відокремити десяткові знаки парами від коми. Розділення того, як, наприклад, принесе марні результати.